Valor absoluto

En matemática, el valor absoluto o módulo^[1] de un número real es su valor numérico sin su respectivo signo, sea este positivo (+) o negativo (-); o en otras palabras, su distancia en la recta numérica hasta el valor cero. Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y -3.

El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

Gráfica de la función valor absoluto

Valor absoluto de un número real

Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real está definido por:

$|a| = begin{cases} ;;;a, & mbox{si } a ge 0 -a, & mbox{si } a < 0 end{cases}$

Note que, por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.

Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real corresponde a la distancia a lo largo de la recta numérica real desde hasta el número cero. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia.

Propiedades fundamentales

$\|a\| ge 0$	No negatividad
$\|a\| = 0 iff a = 0$	Definición positiva
$\|ab\| = \|a\| \|b\|,$	Propiedad multiplicativa
$\|a+b\| le \|a\| + \|b\|$	Propiedad aditiva

Otras propiedades

$\|-a\| = \|a\|,$	Simetría
$\|a-b\| = 0 iff a = b$	Identidad de indiscernibles
$\|a-b\| le \|a-c\| + \|c-b\|$	Desigualdad triangular
$\|a-b\| ge \|\|a\| - \|b\|\|$	(equivalente a la propiedad aditiva)
$\| frac {a}{b}\| = frac {\|a\|}{\|b\|} (si b ne 0)$	Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)

Otras dos útiles inecuaciones son:

$|a| le b iff -b le a le b$
$|a| ge b iff a ge b vee b le -a$

Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:

$\|x-3\| le 9$	$iff -9 le x-3 le 9$
	$iff -6 le x le 12$

Valor absoluto de un número complejo

El valor absoluto de un número complejo es la distancia desde al origen. Aquí vemos que y su conjugado tienen el mismo valor absoluto.

Como los números complejos no conforman un conjunto ordenado en el sentido de los reales, la generalización del concepto no es directa, sino que requiere de la siguiente identidad, que proporciona una definición alternativa y equivalente para el valor absoluto:

$|a| = sqrt{a^2}$

De esta manera, dado cualquier número complejo de la forma

$z = x + iy,$

con x e y números reales, el valor absoluto o módulo de z está definido formalmente por:

$|z| = sqrt{x^2 + y^2}$

Como los números complejos son una generalización de los números reales, es lógico que podamos representar a estos últimos también de esta forma:

$|x + i0| = sqrt{x^2 + 0^2} = sqrt{x^2} = |x|$

De modo similar a la interpretación geométrica del valor absoluto para los números reales, se desprende del Teorema de Pitágoras que el valor absoluto de un número complejo corresponde a la distancia en el plano complejo de ese número hasta el origen, y más en general, que el valor absoluto de la diferencia de dos números complejos es igual a la distancia entre ellos.

Propiedades

El valor absoluto de los complejos comparte todas las propiedades vistas anteriormente para los números reales. Además, si

$z = x + i y = r (cos phi + i sin phi ) ,$

$bar{z} = x - iy$

es el conjugado de z, entonces se verifica que:

$|z| = r,$

$|z| = |bar{z}|$

$|z| = sqrt{zbar{z}}$

Esta última fórmula es la versión compleja de la primera identidad en los reales que mencionamos en esta sección.

Como los números reales positivos forman un subgrupo de los números complejos bajo el operador de multiplicación, podemos pensar en el valor absoluto como un endomorfismo del grupo multiplicativo de los números complejos.

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