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Ejercicios con Sustitución trigonométrica
Sustitución Trigonométrica
Este nombre se refiere a que mediante el remplazo adecuado por una función trigonométrica se racionalizan integrandos que contengan 
o múltiplos de estos.
1) 
Se racionaliza escogiendo 
con lo cual 
También serviría escoger 
la idea es poder aplicar una identidad trigonométrica para racionalizar
Ejemplo 1: 
Si 
Utilizando la identidad sen2
y el triángulo 
Note que al construir el triángulo, el cateto que falta por calcular tiene que ser la expresión que está en el integrando, es decir con (
en este caso.
Por otra parte la sustitución por 
también racionaliza con lo cual 
Ejemplo 2: 
2)
Para racionalizar se utiliza
o
puesto que ambas permiten el uso de las identidades 1+tan
o 1+cot
Por ejemplo para 
Así 
Utilizando el triángulo 
3) 
Este radical se racionaliza mediante la escogengia de 
Ejemplo 3: 
Si 
al remplazar en la integral se obtiene
Ejercicios con Fracciones Parciales
Veamos los siguientes casos:
CASO 1: Factores Lineales Distintos.
A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fraccion racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fracción de la forma 
, siendo A una constante a determinar.
Ejemplo:
luego nos queda la siguiente igualdad
o tambien lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B
Haciendo un Sistema.
A + B = 0
2A - 2B = 1 , las soluciones son : 
Quedando de esta manera:
con lo cual
CASO 2: Factores Lineales Iguales.
A cada factor lineal, ax+b,que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma
EJEMPLO:
Calculemos la siguente integral
Pero: 
Tendremos
Amplificando por 
Las Soluciones son:
Nos queda:
CASO 3: Factores Cuadráticos Distintos.
A cada factor cuadrático reducible, 
que figure en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma 
siendo A y B constantes a determinar.
Ejemplo:
Calcular:
Con lo que se obtiene
de donde
luego los valores a encontrar son.
A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0
CASO 4: Factores cuadráticos Iguales
A cada factor cuadrático irreducible, 
que se repita n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma
siendo los valores de A y B constantes reales.
Ejemplo:
Calcular la siguente integral
tendremos que 
por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el minimo común denominador tenemos
Donde los valores de las constantes son
A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1
De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.
arriba
